難C（むずかしー） 円に外接する正八角形 2021中大横浜
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- Опубликовано: 9 мар 2025
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川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
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数学を数楽にする高校入試問題81
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正八角形ABCDEFGHとして、AB, CD, EF, GHを延長して得られる大きな正方形の一辺の長さは1+√2でこれは直径に一致する。
正八角形 に、斜辺の長さが１の直角二等辺三角形を４つくっつけて正方形にしてしまいましょう。出来上がった正方形の一辺は円の直径と等しく１＋（√２）になるので、（３＋（２（√２））Π）÷４
正八角形ABCDEFGHとして、AD,BG,CF,EHを結ぶと、斜辺が1の直角二等辺三角形が4隅にできるので、AD＝(1/√2)×2＋1＝√2＋1
これは直径と等しい。
シンプルで分かりやすいです！ありがとうございます！
30秒で解けますよね？
すみませんが、TAKAさんのコメントの中で分からないので教えてください。
何故、AD＝直径となるのでしょうか？
ちなみにそこまでの説明は理解できました。
宜しくお願いします🤲
AHとDEは平行なのでADは直径と等しくなりますよ
@@泣き顔でスマイル AH,DEの中点をそれぞれP,Qとすると、PQは円の直径になります。AD＝PQなので、ADは円の直径と等しいです。
斜辺の長さが1の直角二等辺三角形4つをくっ付ければ、一辺の長さが1+√2の正方形になるので、これの半分が円の半径になり、円の面積が一瞬で求まりますね。
それ思った
俺もそれ派
こっちのが早いし、簡単
同じく
正八角形の四隅に、底辺１とする直角二等辺三角形を加えて、全体を正方形として、その一片の半分が円の半径になる。のはどですか？
加えた直角二等辺三角形は底角が45度で比が1:1:√2なので1×1/√2で√2/2
√2/2×2+1が正方形の一辺でその半分の√2+1/2が半径ってことか
これはすごい
こんな柔軟な発想が出来ればなあ
おー
僕もその方法で解きました!
鬼才現る
学校を出て久しいですが、たまに頭の体操で動画を拝見しています。
ズルい大人ですけど、正方形とその内接円との面積比が4:πと覚えていたので、私も正方形を先に作りましたね
ほう
やはりピザを注文して検証するしかないようです
箱も八角形でちょうどｲｲﾈ!
角の二等分の性質を使うのは巧妙でした。
私は甘い物が食べたかったのでしょう、底が正方形の紙箱に丸いケーキが入っているイメージで解きました。
箱の1辺の長さは (√2) / 2 ✕ 2 ＋ 1＝1＋√ 2 ＝（直径 2r）
別解としては、工具のノギスで円柱を挟んで直径を測るイメージで進め、ABを1辺とするような長方形が他に2つあるので、どれか一つを使って長辺の長さを求めればよいですね。
辺AB,CD,EF,GHをそれぞれ延長して直線ABと直線CD,直線CDと直線EF,直線EFと直線GH,直線GHと直線ABのそれぞれの交点をI,J,K,Lとする
この時△BCIはBC=1を斜辺とする直角二等辺三角形なのでBI=√2/2
同様にLA=√2/2
したがって
LI=LA+AB+BI=1+√2
ここでLIは円の直径に等しいので
2r=1+√2
したがって求める面積は
πr^2=(3+2√2)/4*π
川端先生でも沼ることがわかってちょっと安心しました
確かに！w
いつも動画内でミスりませんもんねw
露骨な人間アピは受験終わってからやってほしいものですけどw緊張とけた
試験関係無く教養で見ています。数学はパズル的で面白いですよね。
ＯからＢまでの高さが半径ｒ。Ｂから右下の頂点までの高さが√2/2、その頂点からＯまでの高さが1/2。
ｒ＝(1＋√2)/2。
いろんな解き方がありますね。勉強になります。
既に同じようなコメントが散見されますが角に直角二等辺三角形を作って半径rを出して円の面積を求めました。
後半別解の22.5°、角の二等分の性質を使った長さの求め方が素晴らしいと思いました。
他の問題で使えそうですね。
解ければOKというなら正方形を作って解を導く方がスマート。ただし出題者は想定していなかった解法かもね…
ご紹介の解法は,丁度 tan(45°) = 2 tan(45°/2)/(1 - {tan(45°/2)}^2) の証明を形を変えて行った物になってるわけですね。
中学ではtanも加法定理も使うわけに行かないから,それを今ここで証明してるわけです,tanという名前を出さずに...
tan(45°) = 2 tan(45°/2)/(1 - {tan(45°/2)}^2) だとわかってれば tan(45°)=1を使って逆算してtan(45°/2)=-1+√2 だと
すぐわかり,r=(1/2)/tan(45°/2)=(1+√2)/2 だとすぐわかる。三角関数の加法定理が如何に強力かがよくわかります。
この問題は,将来,三角関数の加法定理を習うときに,
それが如何に有用か気付かせてくれる(もし無いとどれほど大変かを思い出させてくれる)かもしれません。
[補足] tan(45°/2)=-1±√2 の -1-√2 が不適な理由は,0
簡単な数学を難C（むずかしー）数学で説明する方法。
皆さんが言っている様に正八角形の面積を求めて、1/8すると三角形の面積になって、そこからrを求めるのが(数)楽な気がする。2次方程式も解く必要がない。
正八角形に外接する正方形を作る
正方形の一辺の長さは1+√2で、
これは円の直径だから、(√2＋1）/2
を半径とする円の面積を求めればいい
八角形の一辺を直角の対辺とする直角二等辺三角形を、八角形の辺にひとつ飛ばしで付けて正方形にしたら、比で正方形の一辺の長さ出せるし、計算も楽じゃない？
正八角形の周りに正方形を作って一辺は1+√2
半径はそれを2で割って1+√2／2
でよくない？
題意を半径を求めろと間違えてしまいました。
私は67.5を45と22.5に分けて比の値を求めました。
最高水準特進に同じような問題があったので簡単でした。
二つの半径で構成される正方形を考えれば半径がすぐ求められる。
余弦定理を使って解く方法もやってほしいです。
自分は正八角形の外側に4つの直角二等辺三角形をつけて正方形を考えて正方形の辺の長さ求めて、正方形の面積求めて、4つの三角形の面積をひいて正八角形の面積を求め、それを8等分してOABの面積求めました。
三角関数を使わなくてもこうやって解けることに感動。
無縁根の排除のところでおっちょこちょいな人は間違えたかもしれませんね。
別解は「例のやつ」ですね。
皆様優れてますね、、、私は4隅に直角二等辺三角形を足して正方形にする、ではなくて、その足した直角二等辺三角形を正八角形の内側に作ると直径が1+その直角二等辺三角形の高さx2 になることから導出しました。
他の方も沢山言ってるけど四隅に直角二等辺三角形それぞれくっつけて考えるのは割と普通の発想だし、明らかにそっちの方が簡単だからそれを採用すべきだよなぁ…
四捨五入で50才のオッサンですがルートの計算や因数分解の問題はなんとかできるのもありますが図形問題は難しい感じで解けません。。
0:40 この問題がアンブレラ社からのメッセージである可能性
東大の例の円周率の問題に通ずる
これは結構簡単だと思う。上のコメントの方法で解いたけどそれでやったら30秒とまではいかなくても1分くらいで皆解ける
別解のほうがすんなり頭に入ってきました(笑)
86,87,88どれも今年の中大横浜なんですよね。同じ様なパターンで数題出されるんですね。いつも、そういったパターンなんですか?
同じ大問です
面積公式と余弦定理で解けました。
円周率が3.5とかより小さいこと証明できそう
て事でやるか、ちょー適当に
円周率は周の長さと長い径との比
八角形の周の長さ=8
直径は√2+1
よって比は8/√2+1=3.3137……
て事で3.3より小さい！
あってる？
最初に「3.5より小さいことを証明できそう」ってあるから
最後は「3.3より小さい」じゃなくて「3.5より小さい」かな？
3:00
どなたかここの場面の「√2X」と表すわけをわかりやすく教えてくれませんか？お願いします。
なお、中学生に教えるつもりでお願いします
三平方の定理で辺の比が1:√2になってるから1がxと置くならなら√2は√2xになるってことじゃないですかね
正方形を使う解法は正八角形に限定されるからあえて面倒臭い解き方を教えてるんじゃないかと思う
同じ条件で、正八角形を正十角形に変えても面白いですね。中学校までだと黄金比の比率を覚えてないと初見ではキツイですがｗ
別解増えて引き出し増える。
余弦定理(ボソッ)
ですよね〜ww
22.5°の公式知ってたのでそれで解きました
接点結んで正方形つくってやるのが早い気がする
円の直径を１辺とする正方形を補助線で作りで八角形と重ならない四隅が「斜辺１の直角二等辺三角形」でこの長辺以外の辺の長さが√２だから円の直径が２√２＋１ですね。
実はこの問題前の動画の解法が絶妙なフリになっているのではと思った。
暗算で行けました！
正八角形ってかっこいいですよね！
余弦定理で半径求まったら後は簡単。しかし、高校受験では先取り学習してないと難しい
ありがとう 余弦定理
この図形の面積の出し方を知っていれば思いつくが...知ってないと結構ダルそう
解けて嬉しＣ
これは四隅に三角形を付け足すべきだろう。割と簡単に行ける。
ですね！
半角の公式使ったらかんたんだった
AOの延長で八角形と交わるとこNと置いて相似で半径出した
BNは1＋ルート2×2だからね
少しセンスなかったわ
のばして正方形にするの思い付いてあー天才だーとか思ってたらみんな言ってて萎えました
僕もかなり萎えてます
みんな言ってるけど八角形の外側に正方形作れば一瞬ですね笑
そうだよね。
@@shogaita 気付いたり知っていればですねー
自分は正n角形を正方形で囲むのはこのチャンネルで学びました
すげ
正八角形のAから時計回りに点をBCDEFGHとして、長方形ABEFと長方形CDGHを作ると四隅に直角二等辺三角形ができるから、1:1:√2の関係から、そこで直径を1＋2×1/√2=1＋√2にして…っていうやり方をしましたがこれでも数学的にどうなんでしょう？
コメントの別解合戦すこ(*´ー｀*)👍
立教新座でも出たことありますね。
すみません、正八角形の135°から余弦定理使って解いちゃいました😅
3.5じゃないんだ
別解いいねｗ
多分理系の高校生なら余弦定理で解きそうw。
余弦定理からAOの長さが求められるので、あとは三平方の定理で円の半径を求めれば解決👍。
明日10本投稿w
Cほど難しくない気がする
他の人も言ってるけど四隅に直角二等辺三角形4つ付ければ楽。こんな長ったらしい計算したくない。
苦笑
記録：６分
やっぱり正八角形は侮れませんね。明らかに正六角形とは桁が違います。
他コメントにあるように、円に外接する正方形からの解法がすぐに思いつく。動画のやり方だと時間がなくなっちゃうよ。
すみません。。。
タンジェントの半角の公式使えばすぐですね(sinの半角の公式/cosの半角の公式から求めて)
8角形を8等分した中心をO、その三角形の1つについて他の2角を∠A、∠Bとおいて△OABとして
これは∠AOB＝π/4の二等辺三角形となるのでABを中点をCとするとOCが求める円の半径rとなり、r＝1/2tanπ/8と表せる
0＜π/8＜π/2よりtanπ/8＞0より、
tanπ/8＝√(1－cosπ/4)/(1＋cosπ/4)
＝√(3＋2√2)
よって円の面積は
πr²＝π×(1/2tanπ/8)²
＝π×1/4(3－2√2)
＝{(3＋2√2)/4}π
八角形の4隅に直角に等辺三角形を足せば正方形になる その正方形の1辺の長さは1+√2、つまり外接円の直径です
これまた面倒な解き方してますね
またタイトル編集くるかな？www
福引きのガラガラに見えた。
中学入試かと思って、算数で解くのかと思ったwwa
草²
挨拶がをかし
図が見づらい。
いとわろかしけれども